机器学习番外篇之在线学习(I):Online Learning与感知器
我们以前讨论的都是批量学习的方法(batch learning),即给定一堆训练样本,我们一次对样本进行训练,然后得到对于模型参数的估计,用得到的模型预测未知样本。而在线学习就是要根据新来的样例，边学习，边给出结果。
假设样例按照到来的先后顺序依次定义为$((x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),\cdots,(x^{(m)},y^{(m)}))$。$X$为样本特征，$y$为类别标签。我们的任务是到来一个样例$x$，给出其类别结果$y$的预测值，之后我们会看到$y$的真实值，然后根据真实值来重新调整模型参数，整个过程是重复迭代的过程，直到所有的样例完成。这么看来，我们也可以将原来用于批量学习的样例拿来作为在线学习的样例。在在线学习中我们主要关注在整个预测过程中预测错误的样例数。
拿二值分类来讲，我们用$y=1$表示正例，$y=-1$表示负例。假设我们采用感知器算法（Perception algorithm）进行学习。我们的假设函数为:
\begin{equation} h_{\theta}(x) = g(\theta^T x) \end{equation}
其中$x$是$n+1$维特征向量,最后一维为常量$1$，$\theta$是$n+1$维参数权重,最后一维表示Bias。函数$g$用来将$\theta^Tx$计算结果映射到$-1$和$1$上。具体公式如下：
\begin{equation} \begin{split} g(z) = \left \lbrace \begin{array}{cc} 1 & \text{if} \ z \geq 0 \\ -1 & \text{if} \ z < 0 \end{array} \right. \end{split} \end{equation}
这个也是logistic回归中$g$的简化形式。
现在我们提出一个在线学习算法如下：
新来一个样例$(x,y)$，我们先用从之前样例学习到的$h_{\theta}(x)$来得到样例的预测值$y$，如果$h_{\theta}(x) = y$（即预测正确），那么不改变$\theta$，反之
\begin{equation} \theta := \theta + yx \end{equation}
也就是说，如果对于预测错误的样例，$\theta$进行调整时只需加上（实际上为正例）或者减去（实际负例）样本特征$x$值即可。$\theta$初始值为向量0。这里我们关心的是$\theta^Tx$的符号，而不是它的具体值。调整方法非常简单。然而这个简单的调整方法还是很有效的，它的错误率不仅是有上界的，而且这个上界不依赖于样例数和特征维度。
下面定理阐述了错误率上界：
定理（Block and Novikoff）:
给定按照顺序到来的$(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)},\cdots,(x^{(m)},y^{(m)}))$样例。假设对于所有的样例$||x^{(i)} \leq D$，也就是说特征向量长度有界为$D$。更进一步，假设存在一个单位长度向量$u$且$y^{(i)}(u^Tx^{(i)})\geq \gamma$。也就是说对于$y=1$的正例，$u^Tx^{(i)} \geq \gamma$，反例$u^Tx^{(i)} \leq -\gamma$，$u$能够有$\gamma$的间隔将正例和反例分开。那么感知算法的预测的错误样例数不超过$({D \over \gamma})^2$。
根据对SVM的理解，这个定理就可以阐述为：如果训练样本线性可分，并且几何间距至少是$\gamma$，样例样本特征向量最长为$D$，那么感知算法错误数不会超过$({D \over \gamma})^2$。这个定理是62年提出的，63年Vapnik提出SVM，可见提出也不是偶然的，感知算法也许是当时的热门。
下面主要讨论这个定理的证明：
感知算法只在样例预测错误时进行更新，定义$\theta^{(k)}$是第$k$次预测错误时使用的样本特征权重，$\theta^{(1)} = \vec{0}$ 初始化为$\vec{0}$向量。假设第$k$次预测错误发生在样例$(x^{(i)},y^{(i)})$上，利用$\theta^{(k)}$计算$y^{(i)}$值时得到的结果不正确。也就是说下面的公式成立：
\begin{equation} (x^{(i)})^T\theta^{(k)}y^{(i)} \leq 0 \end{equation}
根据感知算法的更新方法，我们有$\theta^{(k+1)} = \theta^{(k)} + y^{(i)}x^{(i)}$。这时候，两边都乘以$u$得到:
\begin{equation} \begin{split} (\theta^{(k+1)})^Tu &= (\theta^{(k)})^u + y^{(i)}(x^{(i)})^Tu \\ &\geq (\theta^{(k)})^Tu + \gamma \end{split} \end{equation}
这个式子是个递推公式，就像等差数列一样$f_{n+1}=f_n+d$。由此我们可得
\begin{equation} (\theta^{(k+1)})^Tu \geq k\gamma \end{equation}
因为初始$\theta$为$\vec{0}$。
下面我们利用前面推导出的$(x^{(i)})^T\theta^{(k)}y^{(i)} \leq 0$和$||x^{(i)}|| \leq D$得到
\begin{equation} \begin{split} ||\theta^{(k+1)}||^2 &= ||\theta^{(k)} + y^{(i)}x^{(i)}||^2 \\ &= ||\theta^{k}||^2 + ||x^{(i)}||^2 + 2y^{(i)}(x^{(i)})^T\theta^{(i)} \\ &\leq ||\theta^{k}||^2 + ||x^{(i)}||^2 \\ &\leq ||\theta^{k}||^2 + D^2 \end{split} \end{equation}
也就是说$\theta^{(k+1)}$的长度平方不会超过$\theta^{(k)}$与$D$的平方和。
又是一个等差不等式，得到：
\begin{equation} ||\theta^{k+1}||^2 \leq kD^2 \end{equation}
两边开根号得：
\begin{equation} \begin{split} \sqrt{k}D & \geq ||\theta^{(k+1)}|| \\ & \geq (\theta^{(k+1)})^Tu \\ & \geq k\gamma \end{split} \end{equation}
其中第二步可能有点迷惑，我们细想$u$是单位向量的话:
\begin{equation} z^Tu = ||z||||u||cos \phi \leq ||z||||u|| \end{equation}
因此上面的不等式成立，最后得到：
\begin{equation} k \leq (D/\gamma)^2 \end{equation}
也就是预测错误的数目不会超过样本特征向量$x$的最长长度除以几何间隔的平方。实际上整个调整过程中$\theta$就是$x$的线性组合。
Original Link:在线学习（Online Learning）