傅里叶变换及应用(下)

本部分为傅里叶变换及应用(下),我们接着小小收藏夹(I)一文中傅里叶变换及应用(上)部分继续我们关于傅里叶变换及其应用的学习。

• 时延性，尺度变化，卷积;主要介绍傅里叶变换的若干性质。

  • Delay;A shift in time corresponds to a phase shift in frequency.

  $$\begin{equation} \begin{split} \mathscr{F} f(t-b) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi ist} f(t-b)dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi is(u+b)}f(u)du \\ &= e^{-2\pi isb} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi isu}f(u)du \\ &= e^{-2\pi isb} \mathscr{F} f(t) \end{split} \end{equation}$$

  • Stretch;(以下仅给出当$a>0$时的情形,$a$的正负会影响积分上下限)

  $$\begin{equation} \begin{split} \mathscr{F} f(at) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi ist} f(at)dt\\ &= \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i(s/a)u} f(u)du \\ &= \frac{1}{a} \mathscr{F} f(\frac{s}{a}) \end{split} \end{equation}$$

  • Convolution; $$\begin{equation} \begin{split} \mathscr{F} f(t) \mathscr{F} g(x) &= (\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi ist} f(t)dt)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi isx} g(x)dx) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi ist} e^{-2 \pi isx} f(t)g(x)dtdx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi is(t+x)}f(t)dt)g(x)dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi isu}f(u-x)du)g(x)dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty} f(u-x)g(x)dx)e^{-2 \pi isu}du \\ &= \mathscr{F} h(u) \\ &= \mathscr{F}(\int_{-\infty}^{\infty} f(u-x)g(x)dx) \end{split} \end{equation}$$

访谈

• LinkedIn高级分析师王益：大数据时代的理想主义和现实主义(图灵访谈);个人觉得读过之后觉得很受用的一篇文章,从事机器学习相关学习和工作的朋友可以看看。

算法

• Rocchio_classification;一种非常经典的文本分类算法，能够在用户查询时根据用户相关度反馈对Query向量进行调整,以使得搜索引擎返回的文档与搜索词间相关度更强。(Relevance Feedback)

深入了解机器学习

硕士生涯马上就要开始了,在硕士阶段开始之前,想对机器学习相关知识有一个更为深入的了解。

• Beta/Dirichlet分布。贝叶斯方法为了简化计算量，在计算Posterier时均采用了Conjugate Prior,而Beta/Dirichlet分布则是最为常见的Conjugate Prior.以下几个文章都灰常不错,建议阅读;

  • LDA-math-认识Beta/Dirichlet分布(1)
  • LDA-math-认识Beta/Dirichlet分布(3)

• Gamma函数递归性质的证明;

$$\begin{equation} \begin{split} \Gamma(x+1) &= \int_{0}^{\infty} t^x e^{-t} dt \\ &= -\int_{0}^{\infty} t^x d e^{-t} \\ &= [-t^x e^{-t}]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-t} x t^{x-1} dt \\ &= x \Gamma(x) \end{split} \end{equation}$$